Задание 14. ЕГЭ. На ребре SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM : MA = 1 : 2.

Задание. На ребре SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM : MA = 1 : 2. Точки P и Q – середины рёбер BC и AD  соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Решение:

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

Построим сечение пирамиды плоскостью (MPQ). Прямая PQ параллельна АВ, АВ лежит в плоскости (SAB), следовательно, PQ параллельна плоскости (SAB). Точка М является общей точкой  плоскостей (SAB) и (MPQ).

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. В данном случае плоскость (MPQ) пересекает плоскость (SAB) по прямой MN, параллельной АВ. Точки M и P лежат в одной плоскости, проведем прямую MP. Сечение плоскостью (MPQ) построено.

По построению AB ǁ MN, причём AB ≠ MN.

Так как ∠S – общий, ∠SMN = ∠SAB (AB ǁ MN, AS – секущая), то треугольники ΔSAB и ΔSMN подобны, следовательно,

Так как  AM = BN, AQ = BP, ∠MAQ = ∠NBP, то треугольники Δ MAQ = Δ NBP и  MQ = NP.

Следовательно, четырехугольник MNPQ – равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Плоскость (MPQ) делит пирамиду SABCD на два многогранника: пятигранник AMQBNP и многогранник SMQDCPN.

Объём пятигранника AMQBNP состоит из суммы объёмов четырехугольной пирамиды MABPQ с основание ABPQ и треугольной пирамиды MBNP с основанием BNP:

Пусть V_SABCD = V.

Объём пирамиды ASBC равен:

Высота пирамиды ASBC – это расстояние от точки А  до плоскости (SBC), а высота пирамиды MBNP – это расстояние от точки М до плоскости (BNP).

Расстояние от точки М до плоскости (BNP) относится к расстоянию от точки А  до (SBC) как 1 : 3, т. е.

Так как ∠B – общий угол для треугольников ΔBNP и ΔBSC, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы, т. е.

Тогда отношение объёмов пирамиды MBNP и пирамиды ASBC равно:

Высота пирамиды MABPQ – это расстояние от точки М до плоскости (ABPQ), а высота пирамиды SABCD – это расстояние от точки S до (ABCD).

Расстояние от точки М до плоскости (ABPQ) относится к расстоянию от точки S до (ABCD) как 2 : 3, т. е.

Так как точки P и Q – середины рёбер BC и AD  соответственно, то

Тогда отношение объёмов пирамиды MABPQ и пирамиды SABCD равно:

Объём пятигранника AMQBNP равен:

Объём многогранника SMQDCPN равен:

Таким образом, отношение объёмов пятигранника AMQBNP и многогранника SMQDCPN равно:

Ответ: 7/11

Понравилось? Нажмите