Задание 12. ЕГЭ. Найдите наибольшее значение функции.

Задание. Найдите наибольшее значение функции y = (x + 20)²·e^{— 18 – x} на отрезке [- 19; — 17].

Решение:

Найдем точку экстремума. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять её к нулю.

Функция определена при всех значения x.

Найдем производную функции:

Найдем нули производной:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла:

Отметим точку – 19; – 18 и – 17 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке x = – 18 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит, это искомая точка максимума функции на отрезке [- 19; — 17].

Найдем значение функции при x = – 18:

Значение y(- 18) = 4 является наибольшим значением функции y = (x + 20)²·e^{— 18 – x}

на отрезке [- 19; — 17].

Ответ: 4

Понравилось? Нажмите