Задание 12. ЕГЭ. Найдите наименьшее значение функции y = 5x – ln(5x) + 12 на отрезке [1/10; 1/2]

Задание. Найдите наименьшее значение функции y = 5x – ln(5x) + 12 на отрезке [1/10; 1/2].

Решение:

Найдем точку экстремума, для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Функция определена при 5x > 0, x > 0.

Найдем производную функции:

Найдем нули производной:

5x – 1 = 0

5x = 1

x = 1/5 принадлежит отрезку [1/10; 1/2].

Отметим точки 1/5, 1/10 и 1/2 на числовой прямой и расставим знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную:

В точке x = 1/5 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума функции на отрезке [1/10; 1/2].

Найдем значение функции y = 5x – ln(5x) + 12 при x = 1/5:

Значение y(1/5) = 13 является наименьшим значением функции y = 5x – ln(5x) + 12 на отрезке [1/10; 1/2].

Ответ: 13

Понравилось? Нажмите