Задание 12. ЕГЭ. Найдите точку минимума функции y = (x^2 – 7x + 7)e^x – 17.

Задание. Найдите точку минимума функции y = (x² – 7x + 7)e^{x – 17}.

Решение:

Точка минимума функции – это точка экстремума функции, в которой производная меняет свой знак с отрицательного на положительный. Для вычисления точек экстремума необходимо найти производную функции и приравнять ее к нулю.

Область определения функции: все числа.

Найдем производную функции:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е.

e^x-17 > 0,

x² – 5x = 0

x(x – 5) = 0

x₁ = 0 и x₂ = 5

Отметим точки 0 и 5 на числовой прямой и найдем знаки производной функции на получившихся промежутках, подставляя любые значения из промежутков в найденную производную (см. рисунок)

В точке x = 5 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит, это искомая точка минимума.

Ответ: 5

Понравилось? Нажмите