Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение 36^sinx+36^cos(x+π/2) =37/6.

Задание. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 7π; 17π/2].

Решение:

а) Решите уравнение .

ОДЗ уравнения: все числа.

Преобразуем cos(x + π/2) = cos(π/2 + x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой функции содержится выражение (π/2 + x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. косинус – на синус.

Так как (π/2 + x) – аргумент из второй четверти, то в ней преобразуемая функция косинус имеет знак минус. Получим:

cos(x + π/2) = cos(π/2 + x) = — sinx.

Исходное уравнение примет вид:

Введем новую переменную, пусть 36^sinx = a, a > 0.

Получим уравнение:

Приравняем к нулю и приведем к общему знаменателю, получим:

6a² – 37a + 6 = 0

D = 1225

a₁ = 1/6  и   a₂ = 6

Вернемся к первоначальной переменой, получим 2 уравнения:

36^sinx = 1/6    и    36^sinx = 6

Решим 1 уравнение:

36^sinx = 1/6

6^2sinx = 6^-1

2sinx = -1

sinx = -1/2

(1)

(2)

Решим 2 уравнение:

36^sinx = 6

6^2sinx = 6¹

2sinx = 1

sinx = 1/2

(3)

(4)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 7π; 17π/2].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:                                                      Для второго корня:

                   

Для третьего корня:                                                         Для четвертого корня:                                   

Ответ:

Понравилось? Нажмите