Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение

Задание. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-6π; -4π].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения:

— 0,5cosx > 0

cosx < 0

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

Решим 1 уравнение:

2cos²x – sinx – 1 = 0

2(1 – sin²x) – sinx – 1 = 0

2 – 2sin²x – sinx – 1 = 0

– 2sin²x – sinx + 1 = 0

2sin²x + sinx – 1 = 0

Введем новую переменную, пусть t = sinx

2t² + t – 1 = 0

D = 1² — 4·2·(-1) = 9

t₁ = — 1; t₂ = 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим

sinx = — 1   и   sinx = 1/2

Решим уравнение

sinx = — 1

Полученный корень ∉ ОДЗ.

Решим уравнение

sinx = 1/2

Корень x₁ ∉ ОДЗ.

Решим 2 уравнение:

Уравнение не имеет корней, т. к. -1 ≤ cosx ≤ 1.

Тогда уравнение

имеет один корень:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-6π; -4π].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности с учетом ОДЗ:

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Ответ:

Понравилось? Нажмите