Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение (2sin^2x-cosx-1)log(-0,2sinx)=0

Задание. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π; 7π].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения:

-0,2sinx > 0

sinx < 0

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

Решим 1 уравнение:

2sin2x – cosx – 1 = 0

2(1 – cos2x) – cosx – 1 = 0

2 – 2cos2x – cosx – 1 = 0

– 2cos2x – cosx + 1 = 0

2cos2x + cosx – 1 = 0

Введем новую переменную, пусть t = cosx

2t2 + t – 1 = 0

D = 12 — 4·2·(-1) = 9

t1 = -1; t2 = 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим

cosx = — 1   и   cosx = 1/2

Решим уравнение

cosx = — 1

Данный корень ∉ ОДЗ.

Решим уравнение

cosx = 1/2

Корень x1  ОДЗ.

Решим 2 уравнение:

Уравнение sinx = — 5 не имеет решения, т. к. – 1 ≤ sinx ≤ 1

Тогда уравнение

имеет один корень:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π; 7π].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности с учетом ОДЗ:

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика