Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение 16^sinx+4·16^sin(x-π)=65/4

Задание. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения. Принадлежащие отрезку [ 4π; 11π/2].

Решение:

а) Решите уравнение

 

ОДЗ уравнения: все числа.·

Преобразуем sin(x – π) = – sin(π – x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (π – x), то наименование тригонометрической функции сохраняется.

Так как (π – x) – аргумент из второй четверти, то в ней преобразуемая функция имеет знак плюс. Получим:

sin(x – π) = – sin(π – x) = – sinx.

Исходное уравнение примет вид:

Введем новую переменную, пусть 16^sinx = a, a > 0.

Получим уравнение:

Приравняем к нулю и приведем к общему знаменателю, получим:

4a² – 65a + 16 = 0

D = 3969

a₁ = 1/4  и   a₂ = 16

Вернемся к первоначальной переменой, получим 2 уравнения:

16^sinx = 1/4    и    16^sinx = 16

Решим 1 уравнение:

16^sinx = 1/4

4^2sinx = 4^-1

2sinx = -1

sinx = -1/2

Решим 2 уравнение:

16^sinx = 16¹

sinx = 1

б) Найдите все корни этого уравнения. Принадлежащие отрезку [ 4π; 11π/2].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Для третьего корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите