Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение 256^sinx – 20·16^sinx + 64 = 0.

Задание. а) Решите уравнение 256^sinx – 20·16^sinx + 64 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Решение:

а) Решите уравнение 256^sinx – 20·16^sinx + 64 = 0.

ОДЗ уравнения: R

Преобразуем уравнение, представим 256^sinx = (16²)^sinx = (16^sinx)², получим

(16^sinx)² – 20·16^sinx + 64 = 0

Введем новую переменную, пусть 16^sinx = a, где а > 0.

Получим уравнение:

а² – 20а + 64 = 0

D = 144

а₁ = 4 и а₂ = 16

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

16^sinx = 4   и   16^sinx = 16

Решим 1 уравнение:

16^sinx = 4

4^2sinx = 4¹

2sinx = 1

sinx = 1/2

(1)

(2)

Решим 2 уравнение:

16^sinx = 16¹

sinx = 1

(3)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Для третьего корня: 

Ответ:

Понравилось? Нажмите