Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение (2cos^2x+3sinx-3)log(√2cosx)=0

Задание. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π; -3π].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения:

√2cosx > 0

cosx > 0

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

Решим 1 уравнение:

2cos2x + 3sinx – 3 = 0

2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0

2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0

– 2sin2x + 3sinx – 1 = 0

2sin2x – 3sinx + 1 = 0

Введем новую переменную, пусть t = sinx

2t2 – 3t + 1 = 0

D = (-3)2 — 4·2·1 = 1

t1 = 1; t2 = 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим

sinx = 1   и   sinx = 1/2

Решим уравнение

sinx = 1

Полученный корень  ОДЗ.

Решим уравнение

sinx = 1/2

Корень x2  ОДЗ.

Решим 2 уравнение:

Тогда уравнение

имеет следующие корни:

(1)

(2)

(3)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π; -3π].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности с учетом ОДЗ:

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Для третьего корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите
  • Анастасия:

    Я нашла ошибку в подсчетах , когда мы находим дискриминант в t2 не 1/2, а ровно 2, потому что мы 3+1=4 и делим на 2 , получается 2

  • Вера:

    Здравствуйте! А почему корень при sinx=1 не принадлежит ОДЗ?

  • Dima:

    Формула cos2a = 1 — 2sin^2a, почему вы разложили на 1 — sin^2a ?

    • Елена Безик:

      Формула cos2a = 1 — 2sin^2a — это формула двойного аргумента, а у нас при решении уравнения используется основное тригонометрическое тождество: cos^2a + sin^2a = 1.

Рубрики
Яндекс.Метрика