Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение 2sin^2(П/2+x)+sin2x=0

Задание. а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения: R

Преобразуем sin(π/2 – x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой функции содержится выражение (π/2 – x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. синус – на косинус.

Так как (π/2 – x) – аргумент из первой  четверти, то в ней преобразуемая функция синус имеет знак плюс, т. е. sin(π/2 – x) = cosx. Получим уравнение:

Используя формулу двойного аргумента sin2α = 2sinα·cosx, получим

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

Решим 1 уравнение:

2cosx = 0

cosx = 0

Решим 2 уравнение:

cosx + sinx = 0

Получили однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Так как sinx и cosx обращаются в нуль в различных точках, т. е. не могут быть одновременно равными нулю, то можно обе части уравнения разделить на cosx:

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π; 9π/2].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите