Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение 4·16^cosx – 9·4^cosx + 2 = 0

Задание. а) Решите уравнение 4·16cosx – 9·4cosx + 2 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 2π; — π/2].

Решение:

а) Решите уравнение 4·16cosx – 9·4cosx + 2 = 0.

ОДЗ уравнения: R

Преобразуем уравнение, представим 16cosx = (42)cosx = 42cosx = (4cosx)2, получим

4·(4cosx)2 – 9·4cosx + 2 = 0

Введем новую переменную, пусть 4cosx = а, где а > 0.

Получим уравнение

2 – 9а + 2 = 0

D = 49

а1 = 1/4 и а2 = 2

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

4cosx = 1/4    и     4cosx = 2

Решим 1 уравнение:

4cosx = 1/4

4cosx = 4-1

cosx = — 1

(1)

Решим 2 уравнение:

4cosx = 2

22cosx = 21

2cosx = 1

cosx = 1/2

(2)

(3)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 2π; — π/2].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Для третьего корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика