Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение 9^cosx + 9^(3π/2 + x) = 10/3.

Задание. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ 7π; 17π/2].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения: все числа.

Преобразуем sin(x + 3π/2) = sin(3π/2 + x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой функции содержится выражение (3π/2 + x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. синус – на косинус.

Так как (3π/2 + x) – аргумент из четвертой четверти, то в ней преобразуемая функция синус имеет знак минус. Получим:

sin(x + 3π/2) = — cosx.

Исходное уравнение примет вид:

Введем новую переменную, пусть 9cosx = a, a > 0.

Получим уравнение:

Приравняем к нулю и  приведем к общему знаменателю, получим:

2 – 10а + 3 = 0

D = 64

а1 = 3 и а2 = 1/3

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

9cosx = 3     и    9cosx = 1/3

Решим 1 уравнение:

9cosx = 3

32cosx = 31

2cosx = 1

cosx = 1/2

(1)

 (2)

Решим 2 уравнение:

9cosx = 1/3

32cosx = 3-1

2cosx = — 1

cosx = — 1/2

(3)

(4)

б) Найдите все корни этого уравнения. Принадлежащие отрезку [ 7π; 17π/2].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:                                               Для второго корня:

                          

Для третьего корня:                                           Для четвертого корня:

                              

Ответ:

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика