Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение sin^4(x/4) — cos^4(x/4) = cos(x — П/2)

Задание. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3П/2; П].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения: R

Для преобразования левой части уравнения воспользуемся

формулой разности квадратов a² – b² = (a – b)(a + b).

Для преобразования правой части воспользуемся тем, что функция косинус – чётная,

тогда cos(x – П/2) = cos(П/2 – x). Преобразуем cos(π/2 – x), воспользуемся формулами приведения. Так как под знаком преобразуемой функции содержится выражение (π/2 – x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. косинус – на синус.

Так как (π/2 – x) – аргумент из первой четверти, то в ней преобразуемая функция косинус имеет знак плюс. Получим cos(π/2 – x) = sinx.

В первом множителе поменяем местами слагаемые, а для второго множителя воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin²x + cos²x = 1, получим

Используя формулу косинуса двойного угла cos2α = cos² α – sin²α

и формулу синуса двойного угла sin2α = 2sinα·cosα, получим

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

Решим 1 уравнение:

Решим 2 уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3П/2; П].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Для третьего корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите