Задание 13. ЕГЭ. Решите уравнение 125·625^sinx – 30·25^sinx + 1 = 0.

Задание. а) Решите уравнение 125·625sinx – 30·25sinx + 1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2; 5π].

Решение:

а) Решите уравнение 125·625sinx – 30·25sinx + 1 = 0.

Преобразуем уравнение, представим 625sinx = (252)sinx = 252sinx = (25sinx)2, получим

125·(25sinx)2 – 30·25sinx + 1 = 0

Введем новую переменную, пусть 25sinx = а, где а > 0.

Получим уравнение

125а2 – 30а + 1 = 0

D = 400

а1 = 1/5 и а2 = 1/25

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

25sinx = 1/5    и     25sinx = 1/25

Решим 1 уравнение:

25sinx = 1/5

52sinx = 5-1

2sinx = — 1

sinx = — 1/2

(1)

(2)

Решим 2 уравнение:

25sinx = 1/25

52sinx = 5-2

2sinx = — 2

sinx = — 1

(3)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2; 5π].

Выберем корни уравнения при помощи единичной окружности

 

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Для третьего корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика