Задание 13. Математика ЕГЭ. Решить тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 4π; — 3π]

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения: все числа.

Преобразуем sin(x – 3π/2) = — sin(3π/2 – x), далее воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (3π/2 — x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. синус — на косинус.

Так как (3π/2 — x) — аргумент из третьей четверти, то в ней преобразуемая функция синус имеет знак минус. Получим:

sin(x – 3π/2) = — sin(3π/2 – x) = cosx.

Преобразуем cos(3π/2 + x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (3π/2 + x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. косинус — на  синус.

Так как (3π/2 + x) — аргумент из четвертой четверти, то в ней преобразуемая функция косинус имеет знак плюс. Получим:

cos(3π/2 + x) = sinx

Исходное уравнение примет вид:

√2cosx·sinx + cosx = 0

cosx·(√2sinx + 1) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, а другой при этом не теряет смысла, т.е.

сosx = 0   или  √2sinx + 1 = 0

Решим 1 уравнение:

сosx = 0

(1)

Решим 2 уравнение:

√2sinx + 1 = 0

sinx = — 1/√2

sinx = — √2/2

(2)

(3)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 4π; — 3π]

Выберем корни при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Для третьего корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите