Задание 13. Математика ЕГЭ. Решить тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Решение:

а) Решите уравнение

Преобразуем знаменатель второй дроби:

cos(11π/2 + x) = cos(4π + 3π/2 + x) = cos(3π/2 + x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (3π/2 + x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. косинус — на синус.

Так как (3π/2 + x) — аргумент из четвертой четверти, то в ней преобразуемая функция косинус имеет знак плюс. Получим:

соs(3π/2 + x) = sinx

Поучим следующее уравнение

ОДЗ:

Ведем новую переменную, пусть

Получим уравнение:

5a² – 3a – 2 = 0

D = 49

a₁ = 1,  a₂ = — 2/5

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения

(1)

(2)

Решим 1 уравнение:

sinx = 1

Решим 2 уравнение:

sinx = — 5/2

Уравнение не имеет решения, так как  — 1 ≤ sinx ≤ 1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Выберем корни при помощи единичной окружности

Выберем корни другим способом:

Ответ:

Понравилось? Нажмите