Задание 13. Математика ЕГЭ. Решить тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

Решение:

а) Решите уравнение

Преобразуем знаменатель второй дроби:

sin(7π/2 — x) = sin(2π + 3π/2 — x) = sin(3π/2 — x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (3π/2 + x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. синус — на косинус.

Так как  sin²(7π/2 — x) больше нуля при любом значении аргумента, то получим:

sin²(7π/2 — x) = cos²x

 Поучим следующее уравнение:

ОДЗ:

Ведем новую переменную, пусть

Получим уравнение:

4a² – 11a + 6 = 0

D = 25

a₁ = 2,  a₂ = — 3/4

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения

(1)

(2)

Решим 1 уравнение:

cosx = 1/2

Решим 2 уравнение:

cosx = — 4/3

Уравнение не имеет решения, так как  — 1 ≤ cosx ≤ 1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

Выберем корни при помощи единичной окружности

Выберем корни другим способом.

Для первого корня:

Для второго корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите