Задание 13. Математика ЕГЭ. Решить тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

Решение:

а) Решите уравнение

 

Преобразуем знаменатель второй дроби:

cos²(x — 17π/2) = cos²(17π/2 — x) = cos²(8π + π/2 — x) = cos²(π/2 — x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (π/2 — x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. косинус — на синус.

Так как cos²(x — 17π/2) больше нуля при любом значении аргумента, то получим:

sin²(7π/2 — x) = sin²x 

Поучим следующее уравнение

ОДЗ:

Ведем новую переменную, пусть

Получим уравнение:

3a² + 4a — 4 = 0

D = 64

a₁ = — 2,  a₂ = 2/3

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения

(1)

(2)

Решим 1 уравнение:

sinx = — 1/2

Решим 2 уравнение:

cosx = 3/2

Уравнение не имеет решения, так как  — 1 ≤ cosx ≤ 1.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

Выберем корни при помощи единичной окружности

Выберем корни другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите