Задание 13. Математика ЕГЭ. Решить тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [2π; 7π/2]

Решение:

а) Решите уравнение:

ОДЗ:

Преобразуем данное уравнение:

Приведем к общему знаменателю:

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, получим

cos²x + 3sinx + 3sin²x = 0

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

cos²x + sin²x = 1

cos²x = 1 – sin²x

Получим:

1 – sin²x + 3sinx + 3sin²x = 0

2sin²x + 3sinx + 1 = 0

Введем новую переменную, пусть sinx = a, тогда

2a² + 3a + 1 = 0

D = 1

a₂ = — 1,   a₂ = — 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим два уравнения:

sinx = — 1       (1)

sinx = — 1/2   (2)

Решим первое уравнение:

sinx = — 1

Данный корень не принадлежит ОДЗ, поэтому мы его исключаем из решения.

Решим второе уравнение:

sinx = — 1/2

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [2π; 7π/2]

Выберем корни при помощи единичной окружности

Выберем корни другим способом:

Для первого корня:

Для второго корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите