Задание 13. Математика ЕГЭ. Решить тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π]

 Решение:

а) Решите уравнение 

Преобразуем знаменатель второй дроби, воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (3π/2 + x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. синус — на косинус.

Так как (3π/2 + x) — аргумент из третьей четверти, то в ней преобразуемая функция синус имеет знак минус. Получим:

sin(3π/2 + x) = — cosx

Тогда уравнение имеет вид:

ОДЗ уравнения:

Приведем к общему знаменателю

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, получим

4sin²x + 3cosx + 3cos²x = 0

Из основного тригонометрического тождества sin²x + cos²x = 1, выразим

sin²x = 1 –cos²x

Тогда получим:

4(1 – cos²x) + 3cosx + 3cos²x = 0

4 – 4cos²x + 3cosx + 3cos²x = 0

– cos²x + 3cosx + 4 = 0

cos²x — 3cosx – 4 = 0

Введем новую переменную, пусть cosx = a, тогда

a² — 3a – 4 = 0

D = 25

a₁ = — 1,   a₂ = 4

Вернемся к первоначальной переменной, получим два уравнения:

cosx = — 1   и   cosx = 4

Решим 1 уравнение:

cosx = — 1

Решим 2 уравнение:

cosx = 4

Уравнение не имеет решения, так как  — 1 ≤ cosx ≤ 1.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π]

Выберем корни при помощи единичной окружности

Корни уравнения можно выбрать другим способом:

Ответ:

Понравилось? Нажмите