Задание 13. Математика ЕГЭ. Решить тригонометрическое уравнение cos2x – cosx = 0

Задание.

а) Решите уравнение cos2x – cosx = 0.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [ 0; 5π/2]

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения: все числа.

Преобразуем уравнение, воспользуемся формулой двойного аргумента cos2x = 2cos²x – 1, получим:

2cos²x – 1 – cosx = 0

2cos²x – cosx – 1 = 0

Введем новую переменную, пусть cosx = a, тогда

2a² – a – 1 = 0

D = 9

a₁ = 1 и a₂ = — 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

cosx = 1  и   cosx = — 1/2

Решим 1 уравнение:

cosx = 1

Решим 2 уравнение:

cosx = — 1/2

Все три корня можно объединить в один, для этого воспользуемся единичной окружностью

Из рисунка видно, что корни повторяются через 2π/3, тогда

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [ 0; 5π/2]

Выберем корни при помощи единичной окружности

Выберем корни другим способом:

Ответ:

Понравилось? Нажмите