Задание 13. Математика ЕГЭ. Решите тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 5π/2; — π].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения — все числа

Упростим данное уравнение.

Преобразуем cos2x, для этого используем формулу двойного аргумента , получим:  cos2x = 1 — 2sin²x.

Преобразуем cos(7π/2 — x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (7π/2 — x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. косинус — на синус.

Так как  (7π/2 — x) — аргумент из третьей четверти, то в ней преобразуемая функция косинус имеет знак минус. Получим:

cos(7π/2 — x) = — sinx.

Тогда данное уравнение примет вид:

— (1 — 2sin²x) – 1 = — 3sinx.

Приравняем данное уравнение к нулю, получим:

 2sin²x + 3sinx — 2 = 0.

Введем новую переменную, пусть sinx = a, где  — 1 ≤ a ≤ 1. Получим:

2a² + 3a – 2 = 0

D = 25

a₁ = — 2;    a₂ = 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

1) sinx = — 2

Уравнение не имеет корней, так как — 1 ≤ cosx ≤ 1.

2) sinx = 1/2

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 5π/2; — π].

Для первого корня:

Для второго корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите