Задание 13. Математика ЕГЭ. Решите тригонометрическое уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

Задание13в7_1

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π] .

Решение:

а) Решите уравнение: 

ОДЗ уравнения — все числа, упростим данное уравнение.

Преобразуем cos2x, для этого используем формулу двойного аргумента , получим:  cos2x = 1 — 2sin2x.

Преобразуем cos(3π/2 — x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (3π/2 — x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. косинус — на синус.

Так как  (3π/2 — x) — аргумент из третьей четверти, то в ней преобразуемая функция косинус имеет знак минус. Получим:

cos(3π/2 — x) = — sinx.

Тогда данное уравнение примет вид:

2·(1 — 2sin2x) — 4sinx + 1 = 0.

4sin2x + 4sinx — 3 = 0.

Введем новую переменную, пусть sinx = a, где  — 1 ≤ a ≤ 1. Получим:

4a2 + 4a – 3 = 0

D = 64

a1 = — 3/2;    a2 = 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

1) sinx = — 3/2

Уравнение не имеет корней, так как — 1 ≤ cosx ≤ 1.

2) sinx = 1/2

Задание13в6_2

б) Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Для первого корня:

Задание13в7_2

Для второго корня:

Задание13в7_3

Ответ:

Задание13в7_4

 

Понравилось? Нажмите

Оставить комментарий

Рубрики
Яндекс.Метрика