Задание 13. Математика ЕГЭ. Решите уравнение 2sin^2x + cosx – 1 = 0.

Задание.

а) Решите уравнение 2sin²x + cosx – 1 = 0.

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-5π; -4π].

 Решение:

а) Решите уравнение 2sin²x + cosx – 1 = 0.

Из основного тригонометрического тождества sin²x + cos²x = 1, выразим

sin²x = 1 – cos²x

Получим уравнение:

2·(1 – cos²x) + cosx – 1 = 0

2 – 2cos²x + cosx – 1 = 0

2cos²x – cosx – 1 = 0

Введем новую переменную, пусть cosx = a, получим

2a² – a – 1 = 0

D = 9

a₁ = 1, a₂ = — 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим 2 уравнения:

cosx = 1  и cosx = — 1/2

Решим 1 уравнение:

cosx = 1

Решим 2 уравнение:

cosx = — 1/2

Все три корня можно объединить в один, для этого воспользуемся единичной окружностью

Из рисунка видно, что корни повторяются через 2π/3, тогда

б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [-5π; -4π].

Выберем корни при помощи единичной окружности

Корни можно выбрать другим способом:

Ответ:

Понравилось? Нажмите