Задание 13. Математика ЕГЭ. Решите уравнение 6sin^2x + 5sin(π/2-x) – 2 = 0

Задание.

а) Решите уравнение 6sin²x + 5sin(π/2-x) – 2 = 0.

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 5π; — 7π/2].

 Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения – все числа.

Преобразуем sin(π/2 — x), воспользуемся формулами приведения.

Так как под знаком преобразуемой тригонометрической функции содержится выражение (π/2 — x), то наименование тригонометрической функции меняем на родственное, т. е. синус — на косинус.

Так как  (π/2 — x) — аргумент из первой четверти, то в ней преобразуемая функция синус имеет знак плюс. Получим:

sin (π/2 — x) =  cosx

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin²x + cos²x = 1

sin²x = 1 – cos²x

Тогда данное уравнение примет вид:

6sin²x + 5sin(π/2-x) – 2 = 0

6·(1 – cos²x) + 5cosx – 2 = 0

6 – 6cos²x + 5cosx – 2 = 0

– 6cos²x + 5cosx + 4 = 0

6cos²x – 5cosx – 4 = 0

Введем новую переменную, пусть cosx = a, тогда получим

6a² – 5a – 4 = 0

D = 121

a₁ = 4/3,  a₂ = — 1/2

Вернемся к первоначальной переменной, получим два уравнения.

Решим 1 уравнение:

cosx = 4/3

Уравнение не имеет решения, так как  — 1 ≤ cosx ≤ 1.

Решим 2 уравнение:

cosx = — 1/2

(1)

(2)

б)  Найдем корни уравнения, принадлежащие отрезку [- 5π; — 7π/2].

Для первого корня:

Для второго корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите