Задание 13. Математика ЕГЭ. Решите уравнение

Задание.

а) Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ — 2π; — π/2].

Решение:

а) Решите уравнение

ОДЗ уравнения — все числа.

Преобразуем данное уравнение, представим степень в левой части уравнения в виде степени с основанием 9, для этого:

1/81 = 9^-2

Тогда получим

(9^-2)^cosx = 9^2sin2x

9^-2cosx = 9^2sin2x

Получившееся показательное уравнение равносильно уравнению

-2cosx = 2sin2x

Решим уравнение:

2sin2x + 2cosx = 0

Воспользуемся формулой двойного аргумента: sin2x = 2·sinx·cosx

2·(2·sinx·cosx + 2cosx) = 0

4sinx·cosx + 2cosx = 0

2cosx(2sinx + 1) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, следовательно, получаем:

2cosx = 0      или      2sinx + 1 = 0

1) Решим уравнение 2cosx = 0

cosx = 0

(1)

2)Решим уравнение 2sinx + 1 = 0

sinx = — 1/2

(2)

(3)

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ — 2π; — π/2].

Для первого корня:

Для второго корня:

Для третьего корня:

Ответ:

Понравилось? Нажмите