Задание 14. ЕГЭ. Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 48.

Задание. Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На ребрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что FK = FN = 10. Через точки K и N проведена плоскость α, перпендикулярная плоскости ABC.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану AM в отношении 1 : 3.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α.

Решение:

а) Докажите, что плоскость α делит медиану AM в отношении 1 : 3.

Так как все боковые ребра пирамиды FABC равны между собой, то высота FO пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания.

Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ΔABC, тогда точка О – точка пересечения медиан, биссектрис и высот треугольников ΔАВС.

Проведем EH ǁ FO, так как FO ⊥ (АВС), то EH ⊥ (АВС).

Плоскость α, проходящая через ЕН также перпендикулярна плоскости (АВС).

Так как треугольники ΔFKN и ΔFBC подобны (∠F – общий, FN : FC = FK : FB = 1 : 4), то KN ǁ BC и KN ǁ (АВС).

Плоскость α, перпендикулярная плоскости (ABC) и проходящая через прямые KN и ЕН, пересекает плоскость (АВС) по прямой DL, которая параллельна KN и BC.

Получим плоскость KLDN – плоскость α.

Из прямоугольного треугольника ΔАМВ (∠М = 90⁰) найдем АМ:

АМ² = АВ² – ВМ²

АМ² = 48² – 24² = 1728

АМ = 24√3

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, т. е.

Треугольники ΔFKN и ΔFBC подобны:

Треугольники ΔFOM и ΔEHM подобны ( ∠М – общий,  ∠О = ∠H – прямые углы), следовательно,

Найдем НМ и AH:

AH = AM – HM = 24√3 — 6√3 = 18√3

Тогда

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α.

Расстоянием от точки C до плоскости α называется перпендикуляр, проведенный из точки C к плоскости α, это расстояние CР.

Так как плоскость α перпендикулярна медиане АМ, то CР = НМ, HM = 6√3.

Ответ: 6√3.

Понравилось? Нажмите