Задание 14. ЕГЭ. Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем А и С диаметрально противоположны. Точка М – середина ВС.

Задание. Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем А и С диаметрально противоположны. Точка М – середина ВС.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ = 2, ВС = 4 и SC = 2√5.

Решение:

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Найдем угол между прямой SM и плоскостью АВС. Проекцией точки S на плоскость АВС является точка О – центр основания конуса, точка М лежит в плоскости АВС, следовательно, ОМ – проекция прямой SM на плоскость АВС. Значит, угол между прямой SM и плоскостью АВС – это угол ∠SMO (на рисунке ∠α).

SО ⊥ (АВС), ОМ ⊥ ВС (т. к. ΔВОС – равнобедренный и точка М – середина ВС), тогда SM ⊥ ВС (по теореме о трех перпендикулярах).

Прямая АВ ⊥ ВС (т. к. ∠АВС = 90⁰, вписанный в окружность угол и опирающийся на диаметр АС).

Прямая АВ параллельна ОМ, следовательно, угол между прямой АВ и плоскостью SBC такой же, как и угол между прямой SM и плоскостью АВС.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ = 2, ВС = 4 и SC = 2√5.

 

Найдем угол между прямой SA и плоскостью SBC. Опустим перпендикуляр h на плоскость SBC,

тогда ∠β — искомый угол.

Перпендикуляр h на плоскость SBC – это расстояние от точки А до плоскости SBC.

ОТ – расстояние от точки О до плоскости SBC.

Так как точка О – середина АС, то h = 2·OT

ОТ – высота прямоугольного треугольника ΔOSM, проведенная из вершины прямого угла.

Так как  ΔOTM подобен ΔSOM, то

(1)

Так как ОМ – средняя линия треугольника ΔАВС:

OM = 1

Из прямоугольного треугольника ΔSMC:

SM² = SC² – MC²

МС = 1/2 · ВС = 2

Из прямоугольного треугольника ΔOSM:

SO² = SM² – OM²

Подставим полученные данные в формулу (1):

SA = SC = 2√5

Найдем sinβ:

Ответ:

Понравилось? Нажмите