Задание 14. ЕГЭ. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.

Задание. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С1, причем СС1 – образующая цилиндра, а АС – диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 300, АВ = √2, СС1 = 4.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 600.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

а) Докажите, что угол между прямыми AС1 и BС равен 600.

Проведем образующую ВВ1, тогда ВВ1С1С – прямоугольник и ВС параллельна В1С1, поэтому угол между прямыми АС1 и ВС равен углу между прямыми АС1 и В1С1, т. е. равен углу ∠АС1В1.

Угол ∠АВС – вписанный в окружность угол, который опирается на диаметр основания цилиндра, следовательно, ∠АВС = 900 и треугольник ΔАВС – прямоугольный треугольник.

Так как ВС ⊥ АВ и ВС ⊥ ВВ1, тогда ВС ⊥ (АВВ1).

Прямая ВС параллельна В1С1, значит В1С1 ⊥ (АВВ1) и В1С1 ⊥ АВ1, т. е. треугольник ΔАВ1С1 – прямоугольный треугольник (∠АВ1С1 = 900).

Тогда

(1)

Так как угол ∠АСВ = 300, а треугольник ΔАВС – прямоугольный треугольник, найдем ВС:

B1C1 = BC = √6

Так как ВВ1 ⊥ (АВС), то треугольник ΔАВВ1 – прямоугольный треугольник,

по теореме Пифагора найдем В1С1:

АВ12 = АВ2 + ВВ12

Подставим значения AВ1 и В1С1 в формулу (1), получим

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:

Высота цилиндра h равна образующей цилиндра CC1:

h = CC1 = 4.

Радиус окружности равен половине диаметра АС:

Из прямоугольного треугольника ΔАВС, найдем AС:

Тогда

Ответ: 8√2π

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика