Задание 14. ЕГЭ. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.

Задание. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С₁, причем СС₁ – образующая цилиндра, а АС – диаметр основания.

Известно, что ∠АСВ = 45⁰,

а) Докажите, что угол между прямыми ВС₁ и АС равен 60⁰.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

а) Докажите, что угол между прямыми ВС₁ и АС равен 60⁰. 

Проведем образующую АА₁, тогда АА₁С₁С – прямоугольник и АС параллельна А₁С₁, поэтому угол между прямыми ВС₁ и АС равен углу между прямыми ВС₁ и А₁С₁, т. е. равен углу ∠А₁С₁В.

Угол ∠АВС – вписанный в окружность угол, который опирается на диаметр основания цилиндра, следовательно, ∠АВС = 90⁰ и треугольник ΔАВС – прямоугольный треугольник.

Так как угол ∠АСВ = 45⁰, то треугольник ΔАВС – прямоугольный равнобедренный треугольник, т. е. АВ = ВС, тогда гипотенузу АС найдем по теореме Пифагора:

АС² = АВ² + ВС²

По условию АВ = СС₁ = АА₁ = ВС, тогда прямоугольные треугольники ΔАА₁В = ΔСС₁В = ΔАВС.

Значит,

Следовательно, ΔА₁ВС₁ – равносторонний треугольник и искомый угол ∠А₁С₁В = 60⁰.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:

Высота цилиндра h равна образующей цилиндра CC₁:

Радиус окружности равен половине диаметра АС:

Тогда

Ответ: 4π

Понравилось? Нажмите