Задание 14. ЕГЭ. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5.

Рубрика Задание 14, Решаем ЕГЭ по математике Комментарии (0)

Задание. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA равно 5. На ребре SC отмечена точка K, причём SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит точку K и параллельна плоскости SAD.

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α – трапеция.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием – сечение пирамиды SABCD плоскостью α.

Решение:

а) Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α – трапеция.

Построим сечение пирамиды SABCD плоскостью α. По условию плоскость α содержит точку K и параллельна плоскости SAD. Используя свойство параллельных плоскостей (Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны), последовательно проведем прямые KM ǁ SD, MN ǁ AD, NL ǁ AS и соединим точки K и L. Искомое сечение KMNL построено.

Докажем, что KMNL – трапеция. Так как KL ǁ AD и MN ǁ AD, то KL ǁ MN.

Прямые NL ǁ AS, MK ǁ SD, AS ∩ SD, тогда NL и MK не параллельны.

Следовательно, KMNL – трапеция.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка S, а основанием – сечение пирамиды SABCD плоскостью α.

(рис. 1)

Пирамида, вершиной которой является точка S, а основанием – сечение пирамиды SABCD плоскостью α, является пирамида SMNLK, выделенная на рисунке красным цветом (см. рис. 1).

(рис. 2)

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Площадь трапеции равна

MN = BC = 4

Треугольники ΔSLK и ΔSBC подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠S – общий,

LK ǁ BC, ∠SKL = ∠SCB – соответственные углы), следовательно,

По условию

Получим

LK = 1

Треугольники ΔSBC и ΔSAD – равнобедренные, тогда медианы SR и SP треугольников ΔSBC и ΔSAD соответственно являются их высотами, а значит, плоскость (SPR) ⊥ AD.

Так как AD ǁ MN, то (SPR) ⊥ MN.

Плоскости (SPR) и (MNLK) пересекаются по прямой OT, следовательно, OT ⊥ MN и OT – высота трапеции MNLK.

Треугольники ΔRPS и ΔRTO подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠R – общий,

SP ǁ OT, ∠RPS = ∠RTO – соответственные углы), следовательно,

Из прямоугольного треугольника ΔSAP (ÐSPA = 90⁰) по теореме Пифагора найдем SP:

SA² = SP² + AP²

SP² = SA² – AP²

SA = 5, AP = 2

SP² = 5² – 2² = 25 – 4 = 21

SP = √21

Треугольник ΔRPS – равнобедренный, значит, SP = SR = √21

Тогда высота ОТ равна:

Площадь трапеции равна

Проведем в треугольнике ΔRPS высоту RF, т. е. RF ^ SP. Так как SP ǁ OT, то RF ⊥ ОТ.

Отрезок RF пересекает ОТ в точке Е, тогда отрезок EF – расстояние от прямой SP до прямой ОТ.

Плоскости (SAD) и (MNLK) параллельны, точка S лежит в плоскости (SAD), а отрезок ОТ лежит в плоскости (MNLK), тогда отрезок EF – расстояние от точки S до плоскости (MNLK).

Следовательно, отрезок EF – высота пирамиды SMNLK, т. е. EF = SH.

Треугольники ΔRPS и ΔRTO подобны, значит,