Задание 14. ЕГЭ. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7.

Задание. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB = SM : MC = 1 : 5. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Решение:

а) Докажите, что плоскость α параллельна прямой SA.

Пусть плоскость α пересекает ребро SB в точке N.

Так как плоскость α параллельна прямой BC, то плоскость α пересекает грань (SBC) по прямой, параллельной BC, т. е. прямые MN и  BC параллельны.

Тогда треугольники ΔSNM и ΔSBC подобны (по первому признаку подобия треугольников; ∠S – общий, ∠SMN = ∠SCB – соответственные углы), следовательно,

Т. е. точка N делит ребро SB в отношении SN : NB = SM : MC = 1 : 5

Значит, AK : KB = SM : MC = SN : NB.

Следовательно, треугольники ΔBNK и ΔBSA подобны (по второму признаку подобия треугольников; ∠B – общий, BK : BA = BN : BS).

Значит, ∠BKN = ∠BAS – соответственные углы, а прямые AS и KN параллельны.

Так как KN лежит в плоскости α, то AS параллельна плоскости α.

б) Найдите угол между плоскостями α и SBC.

Треугольник ΔSBC – равнобедренный, тогда медиана SH является высотой треугольника ΔSBC.

Треугольник ΔABC – правильный, тогда медиана AH является высотой треугольника ΔABC.

Прямая BC ⊥ SH и BC ⊥ AH, тогда BC ⊥ плоскости (ASH).

Прямая BC лежит в плоскости (SBC), то плоскость (ASH) ⊥ (SBC).

Прямая BC параллельна плоскости α, то плоскость (ASH) ⊥ α.

Прямая SA, лежащая в плоскости (ASH), параллельна плоскости α, тогда угол между плоскостями α и (SBC) равен углу между прямой SA и плоскостью (SBC), т.е. равен углу ∠ASH.

По теореме косинусов найдем угол ∠ASH:

(1)

Из прямоугольного треугольника ΔABH (∠AHB = 900) по теореме Пифагора найдем AH:

AB2 = AH2 + BH2

AH2 = AB2 – BH2

AB = 6, BH = 3.

AH2 = 62 – 32 = 36 – 9 = 27

AH = 3√3

Из прямоугольного треугольника ΔSBH (∠SHB = 900) по теореме Пифагора найдем SH:

SB2 = SH2 + BH2

SH2 = SB2 – BH2

SB = 7, BH = 3.

SH2 = 72 – 32 = 49 – 9 = 40

SH = 2√10

Подставим полученные данные в формулу (1):

Ответ:

Понравилось? Нажмите

Оставить комментарий

Рубрики
Яндекс.Метрика