Задание 14. ЕГЭ. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания.

Задание. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С1, причем СС1 – образующая цилиндра, а АС – диаметр основания. Известно, что ∠АСВ = 300, АВ = √6, СС1 = 2√3.

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 450.

б) Найдите объем цилиндра.

Решение:

а) Докажите, что угол между прямыми АС1 и ВС равен 450.

Проведем образующую ВВ1, тогда ВВ1С1С – прямоугольник и ВС параллельна В1С1, поэтому угол между прямыми АС1 и ВС равен углу между прямыми АС1 и В1С1, т. е. равен углу ∠АС1В1.

Угол ∠АВС – вписанный в окружность угол, который опирается на диаметр основания цилиндра, следовательно, ∠АВС = 900.

Прямая В1С1 , параллельная прямой ВС, перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и ВВ1, лежащим в плоскости АВВ1. Значит, прямая В1С1 перпендикулярна плоскости АВВ1, а также перпендикулярна прямой АВ1, лежащей в плоскости АВВ1. Следовательно, угол ∠АВ1С1 = 900.

Тогда треугольник ΔАВ1С1 – прямоугольный треугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАВС:

В1С1 = ВС = 3√2

Из прямоугольного треугольника ΔАВВ1 по теореме Пифагора найдем АВ1:

АВ12 = АВ2 + ВВ12

АВ12 = (√6)2 + (2√3)2 = 6 + 12 = 18

АВ1 = √18 = 3√2

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАВ1С1:

Значит, угол АС1В1 = 450.

б) Найдите объем цилиндра.

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

Высота цилиндра h равна образующей цилиндра ВВ1.

h = ВВ1 = 2√3

r = 1/2·АС

Из прямоугольного треугольника ΔАВC найдем АС:

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 300, равен половине гипотенузы, т. е.

АС = 2АВ = 2√6

r = 1/2 · 2√6 = √6

Тогда

Ответ: 12√3π

Понравилось? Нажмите

Оставить комментарий

Рубрики
Яндекс.Метрика