Задание 14. Математика ЕГЭ. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите угол между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Задание.

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, A1 и D1.

б) Найдите угол между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Задание14в17_1

Решение:

а) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки B, A1 и D1.

Построим плоскость, проходящую через точки B, A1 и D1, т. е. плоскость BA1D1. Точки B и A1 лежат в одной плоскости, поэтому можно провести прямую BA1. Так как ВС параллельна A1D1, то точка С лежит в плоскости BA1D1. Точки С и D1 лежат в одной плоскости, поэтому можно провести прямую СD1. Прямоугольник BA1D1С – искомое сечение.

б) Найдите угол между плоскостями BA1C1 и BA1D1.

Задание14в17_2

Построим плоскость BA1C1. Точки B и A1 лежат в одной плоскости, проведем прямую BA1. Точки A1 и C1 лежат в одной плоскости, проведем прямую A1C1. Точки B и C1 лежат в одной плоскости, проведем прямую BC1. Треугольник BA1C1 – искомое сечение. Так как сторонами этого треугольника являются диагонали граней куба, то треугольник BA1C1 – равносторонний треугольник.

Найдем угол между плоскостями BA1C1 и BA1D1. Плоскости BA1C1 и BA1D1 пересекаются по прямой BA1. Отрезок C1М – высота и медиана треугольника BA1C1, т.е. отрезок C1М перпендикулярен BA1, а также точка М – середина BA1. Найдем точку пересечения диагоналей куба, получим точку О – центр куба. Отрезок МО – средняя линия треугольника BA1D1. Так как A1D1 перпендикулярен BA1, а A1D1 II MO, то МО перпендикулярен BA1.

Следовательно, угол ∠ОМC1 является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями BA1C1 и BA1D1. Угол ∠ОМC1 – искомый угол между плоскостями BA1C1 и BA1D1. Найдем величину этого угла. Углом между двумя плоскостями называется величина острого двугранного угла.

Рассмотрим треугольник ОМC1, найдем стороны этого треугольника. Пусть ребро куба равно 1.  МО – средняя линия треугольника BA1D1, тогда МО = 1/2.

Треугольник ВСС1 – прямоугольный (∠С = 90°), по тереме Пифагора

ВС12 = ВС2 + СС12

ВС12 = 2

ВС1 = √2

Треугольник ВМС1 – прямоугольный (∠М = 90°):

Задание14в17_3

По теореме Пифагора:

MC12 = BC12 — BM2

Задание14в17_4

Найдем ОС1, диагональ куба AC1 = √3, тогда ОС1 = √3/2.

По теореме косинусов найдем cos∠ОМC1:

OC12 = MO2 + MC12 – 2·MO·MC1·cos∠ОМC1

Так как за величину угла между двумя плоскостями берется величина острого двугранного угла (взят модуль), получим

Задание14в17_5

Ответ:   Задание14в17_61

 

Понравилось? Нажмите

Оставить комментарий

Рубрики
Яндекс.Метрика