Задание 14. Математика ЕГЭ. Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. Найдите объем пирамиды, вершина которой является точка A1, а основанием – сечение данной призмы плоскостью γ.

Задание.

Дана правильная четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁, сторона AB основания которой равна 4, а боковое ребро AA₁ равно 2√2. На ребрах AD и C₁D₁ отмечены  точки K и L соответственно, причем DK = C₁L = 1. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC.

а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BD₁.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой является точка A₁, а основанием – сечение данной призмы плоскостью γ.

Решение:

а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BD₁.

 

Через точки K и L проведем прямые параллельные АС. Эти прямые пересекают ребра A₁D₁ и DC в точках L₁ и K₁ соответственно. Тогда трапеция KL₁LK₁ является сечением исходной призмы плоскостью γ.

Рассмотрим плоскость BDD₁. Плоскость BDD₁ пересекает прямые КК₁ и LL₁ в точках E и F соответственно. Следовательно, плоскость сечения KL₁L и плоскость BDD₁ пересекаются по прямой  FE. Четырехугольник BDD₁В₁ – прямоугольник. Прямая BD₁ лежит в плоскости BDD₁, значит, прямая BD₁ пересекает прямую FE и плоскость KL₁L в точке О. Докажем, что плоскость KL₁L перпендикулярна прямой BD₁.

Рассмотрим треугольник ∆ВЕО. Если угол ∠ЕОВ = 90°, то, по свойству прямоугольного треугольника, сумма острых углов треугольника ∆ВЕО должна равняться 90°, т. е. ∠ОЕВ + ∠ЕВО = 90°. Найдем эти углы.

Проведем перпендикуляр FP. Из прямоугольного треугольника ∆EFP найдем тангенс угла ∠OEP:

FP = AA₁ = 2√2

Из прямоугольного треугольника ∆АВС по теореме Пифагора найдем АС:

АС² = АВ² + ВС²

АС² = 4² + 4² = 32

АС = 4√2

АС = BD = 4√2

DM = 1/2·BD

DM = 2√2

Треугольники ∆DKK₁ и ∆DAC подобные треугольники, тогда

Через точку Р проведем ТТ₁ параллельно КК₁, треугольники ∆DTT₁ и ∆DKK₁ подобные треугольники, тогда

EP = DP – DE

Получим:

Угол ∠ЕВО = 90° – ∠D₁BB₁. Из прямоугольного треугольника ∆BB₁D₁ найдем тангенс угла ∠D₁BB₁:

B₁D₁ = BD = 4√2

BB₁ = AA₁ = 2√2

Получим:

Тогда сумма углов:

∠ЕОВ = ∠ОЕВ + ∠ЕВО = ∠ОЕВ + 90° – ∠ ОЕВ = 90°

Следовательно, прямая BD₁ перпендикулярна прямой FE. Прямая КК₁ параллельна прямой АС, которая перпендикулярна плоскости BDD₁. Значит, прямые КК₁ и FE перпендикулярны прямой BD₁, поэтому прямая BD₁ перпендикулярна плоскости сечения γ.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой является точка A₁, а основанием – сечение данной призмы плоскостью γ.

Объем пирамиды A₁KL₁LK₁ (см. рисунок) равен:

Высотой пирамиды A₁KL₁LK₁ (см. рисунок) будет являться расстояние от точки А₁ до плоскости γ. Точка N – точка пересечения A₁C₁ и B₁D₁. Так как прямая A₁C₁ параллельна плоскости γ, то расстояние от точки А₁ до плоскости γ равно расстоянию от точки N до прямой FE. Опустим перпендикуляр из точки N на прямую FE. Так как прямая NN₁ перпендикулярна FE, то NN₁ перпендикулярна плоскости γ, т. е. NN₁  – высота пирамиды A₁KL₁LK₁.

FN = D₁N – D₁F

D₁N = DM = 2√2

D₁F = DP = (3√2)/2

Так как BD параллельна B₁D₁, а BD₁ параллельнаNN₁, то угол ∠DBD₁ = ∠FNN₁.

Из прямоугольного треугольника ∆DBD₁:

BD₁² = BD² + DD₁²

BD₁² = (4√2)² + (2√2)² = 32 + 8 = 40

BD₁ = 2√10

Из прямоугольного треугольника ∆FNN₁:

Основанием пирамиды A₁KL₁LK₁ является равнобедренная трапеция KL₁LK₁, площадь которой равна:

Из прямоугольного треугольника ∆DKK₁ по теореме Пифагора найдем КК₁:

КК₁² = DK² + DK₁²

КК₁² = 1² + 1² =2

KK₁ = √2

Из прямоугольного треугольника ∆D₁L₁L по теореме Пифагора найдем LL₁:

LL₁² = D₁L₁² + D₁L²

LL₁² = 3² + 3² = 18

LL₁ = 3√2

Из прямоугольного треугольника ∆TL₁K по теореме Пифагора найдем KL₁:

KL₁² = KT² + TL₁²

KL₁² = 2² + (2√2)² = 12

KL₁ = 2√3

Из прямоугольного треугольника ∆KQL₁ по теореме Пифагора найдем KQ:

KQ² = KL₁² – L₁Q²

L₁Q = (LL₁ – КК₁)/2 = (3√2 – √2)/2 = √2

KQ² = (2√3)² – (√2)² = 10

KQ = √10

Подставим полученные данные в формулу объема:

Ответ:  

Понравилось? Нажмите