Задание 14. Математика ЕГЭ. Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона AB основания которой равна 10, а боковое ребро BB1 равно √15.

Рубрика Задание 14, Решаем ЕГЭ по математике Комментарии (0)

Задание.

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, сторона AB основания которой равна 10, а боковое ребро BB₁ равно √15. На ребрах AB и B₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причем AK = 7; B₁L = 1. Точка M – середина ребра A₁C₁. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC.

а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM.

б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости γ.

рис.1.

Решение:

a) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой BM.

Проведем через точки K и L прямые, параллельные AC. Эти прямые пересекают ребро BC в точке K₁ и ребро A₁B₁ в точке L₁ (см. рис. 1). Тогда равнобедренная трапеция KL₁LK₁ является сечением призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью γ.

Рассмотрим плоскость BB₁M. Эта плоскость пересекает прямую AC в точке N, прямую KK₁ в точке E и прямую LL₁ в точке F. Четырехугольник BB₁MN – прямоугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник A₁MB₁.

MB₁ = A₁B₁·sin60⁰

MB₁ = NB = 5√3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MB₁B. По теореме Пифагора найдем MB.

MB² = MB₁² + BB₁²

MB² = (5√3)² + (√15)² = 90

MB = 2√10.

По теореме Фалеса:

B₁F : MB₁ = B₁L : B₁C₁ = 1 : 10.

B₁F : MB₁ = 1 : 10.

B₁F = 1·MB₁/10

B₁F = (1·5√3)/10 = √3/2.

Проведем KS параллельно AA₁. Рассмотрим прямоугольный треугольник KSL₁:

KS = AA₁ = √15

SL₁ = A₁L₁ — A₁S

A₁L₁ = A₁B₁ — B₁L = 10 – 1 = 9

A₁S = AK = 7

SL₁ = A₁L₁ — AK = 9 — 7 = 2

По теореме Пифагора:

KL₁² = KS² + SL₁²

KL₁² = (√15)² + 2² = 19

KL₁ = √19

Треугольник ABC и треугольник KBK₁ подобные треугольники, значит

AC : KK₁ = AB : KB

10 : KK₁ = 10 : 3

KK₁ = 3.

Треугольник A₁B₁C₁ и треугольник L₁BL подобные треугольники, значит

A₁C₁ : LL₁ = A₁B₁ : B₁L₁

10 : LL₁ = 10 : 1

LL₁ = 1.

Рассмотрим равнобедренную трапецию KL₁LK₁, EF – высота трапеции.

Проведем PL₁ параллельно EF, тогда KP = (KK₁ — LL₁)/2 = 1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KPL₁. По теореме Пифагора:

PL₁² = KL₁² – KP²

PL₁² = (√19)² — 1² = 18

EF = PL₁ = 3√2.

Рассмотрим рисунок 2.

рис. 2.

Из прямоугольного треугольника MBB₁:

Из прямоугольного треугольника TEF:

Рассмотрим треугольник MFO:

То есть прямые MB и EF перпендикулярны. Прямая KK₁ параллельна прямой АС, которая перпендикулярна плоскости BB₁M. Значит, прямые KK₁ и EF перпендикулярны прямой MB, поэтому прямая MB перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки C₁ до плоскости γ. Смотри рисунок 3.

рис. 3.

Так как A₁C₁параллельна плоскости сечения γ, а MB перпендикулярна плоскости сечения γ, то расстояние от точки C₁ до плоскости сечения γ равно отрезку MO.

Рассмотрим треугольник MEF (рис. 2). Найдем площадь этого треугольника: