Задание 14. Математика ЕГЭ. На рисунке изображен многогранник, все двугранные углы которого прямые. Найдите площадь сечения.

Задание.

На рисунке изображен многогранник, все двугранные углы которого прямые.

а) Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С₁.

б) Найдите площадь этого сечения.

Решение:

а) Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через точки А, В и С₁.

Точки В и С₁ лежат в одной плоскости, поэтому можно провести прямую ВС₁. Так как все двугранные углы многогранника прямые, то проведем прямую AD₁ параллельно прямой ВС₁; проведем прямую B₂N параллельно прямой ВС₁; проведем прямую А₂М параллельно прямой AD₁. Соединим точки M и N, точки А и А₂, точки В и В₂. Искомое сечение построено (см. рисунок).

б) Найдите площадь этого сечения.

Площадь сечения будет равна S_сеч = S_AD1C1B – S_A2MNB2

S_AD1C1B = ВС₁·D₁C₁

Из прямоугольного треугольника ∆ВСС₁ по теореме Пифагора найдем ВС₁:

ВС₁² = ВС² + СС₁²

ВС₁² = 4² + 4² = 32

ВС₁ = 4√2

S_AD1C1B = 4√2·3 = 12√2

Так как ВВ₁С₁С – квадрат и прямая B₂N параллельна прямой ВС₁, то точка N – середина С₂С₃; аналогично точка М – середина D₂D₃. Следовательно, C₂N = 2.

MN = AB — 2·AA₂

MN = 3 – 2·1 = 1

Из прямоугольного треугольника ∆В₂C₂N по теореме Пифагора найдем В₂N:

В₂N² = В₂C₂² + C₂N²

В₂N² = 2² + 2² = 8

В₂N = 2√2

S_A2MNB2 = MN· B₂N

S_A2MNB2 = 1·2√2 = 2√2

S_сеч = 12√2 – 2√2 = 10√2

Ответ: 10√2

Понравилось? Нажмите