Задание 14. Математика ЕГЭ. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.Задание. В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1. а) Докажите, что A1P:PB1 = 2:1, где P – точка пересечения плоскости α с ребром A1B1. б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Решение: а) Докажите, что A1P:PB1 = 2:1, где P – точка пересечения плоскости α с ребром A1B1. Построим плоскость α, проходящую через точки K и C1 параллельно прямой BD1. Для этого построим плоскость, содержащую прямую BD1, т. е. проходящую через точки B, B1, D, D1. Точки K и C1 лежат в одной плоскости, поэтому можно провести KC1. Точка К лежит в плоскости BDD1, проведем прямую KE параллельно BD1. Эта прямая пересекает прямую B1D1 в точке E. Точки Е и C1 лежат в одной плоскости, проведем прямую C1E. Прямая C1E пересекает A1B1 в точке P. Точки P и K лежат в одной плоскости, проведем PK. Плоскость KPC1 – искомое сечение. Треугольники BB1D1 и KB1E – подобные треугольники, тогда
BB1 = 4 KB1 = 1
B1E = √2
Рассмотрим рисунок, так как MENB1 – квадрат, то EM = 1. Треугольники PB1C1 и PME – подобные треугольники, тогда
4x – 4 = x PB1 = 4/3 Тогда
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
Треугольник B1KC1 – прямоугольный. Пусть точка H – основание высоты B1H треугольника B1KC1. PB1 перпендикулярна плоскости B1KC1. B1H – проекция наклонной PH на плоскость BB1C1. B1H перпендикулярна KC1. Тогда по теореме о трех перпендикулярах PH перпендикулярна KC1. Следовательно, угол PHB1 – линейный угол искомого двугранного угла. Треугольник PB1H – прямоугольный, тогда
Найдем площадь треугольника B1KC1:
B1K = 1, B1C1 = 4, тогда
Площадь треугольника B1KC1 найдем другим способом:
KC12 = B1K2 + B1C12 KC12 = 12 + 42 = 17 KC1 = √17
Найдем
Ответ:
Оставить комментарий |
Рубрики
|
