Задание 14. Математика ЕГЭ. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD. Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Задание.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых ребер пирамиды SA = √11, SB = 3√3, SD = 2√5.

а) Докажите, что SA – высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Решение:

а) Докажите, что SA – высота пирамиды.

 

Рассмотрим треугольник SAB. По теореме, обратной теореме Пифагора (Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный), стороны этого треугольника удовлетворяют равенству:

SB² = SA² + AB²

27 = 27

Следовательно, треугольник SAB – прямоугольный,

Рассмотрим треугольник SAD. По теореме, обратной теореме Пифагора, стороны этого треугольника удовлетворяют равенству:

SD² = AD² + SA²

20 = 20

Следовательно, треугольник SAD – прямоугольный,

Так как

Значит, SA – высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

SA перпендикулярна плоскости ABC, SB – наклонная к плоскости ABC, АВ – проекция наклонной SB на плоскость ABC. Тока В – основание наклонной, через точку В проходит прямая ВС перпендикулярно проекции АВ (ABCD – прямоугольник), тогда по теореме о трех перпендикулярах  прямая ВС перпендикулярна наклонной SB.

Прямая ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и SB, лежащим в плоскости ASB, следовательно ВС перпендикулярна плоскости ASB.

Проекцией SС на плоскость ASB будет прямая SB. Таким образом, угол между прямой SС и плоскостью ASB является угол между прямой SС и ее проекцией SB на эту плоскость, т. е ∠BSC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BSC:

Ответ: 30^°

Понравилось? Нажмите