Задание 14. Математика ЕГЭ. В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD. Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBС.

Задание.

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 6. Длины боковых ребер пирамиды SA = 3, SB = 5, SD = 3√5.

а) Докажите, что SA – высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBС.

Решение:

а) Докажите, что SA – высота пирамиды. 

Рассмотрим треугольник SAB. По теореме, обратной теореме Пифагора (Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный), стороны этого треугольника удовлетворяют равенству:

SB² = SA² + AB²

5² = 3² + 4²

25 = 25

Следовательно, треугольник SAB – прямоугольный,

Рассмотрим треугольник SAD. По теореме, обратной теореме Пифагора, стороны этого треугольника удовлетворяют равенству:

SD² = AD² + SA²

45 = 45

Следовательно, треугольник SAD – прямоугольный,

Так как

Значит, SA – высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBС.

Расстоянием от точки до плоскости называется перпендикуляр, проведенный от точки до данной плоскости.

1 способ:

SA перпендикулярна плоскости ABC, SB – наклонная к плоскости ABC, АВ – проекция наклонной SB на плоскость ABC. Тока В – основание наклонной, через точку В проходит прямая ВС перпендикулярно проекции АВ (ABCD – прямоугольник), тогда по теореме о трех перпендикулярах  прямая ВС перпендикулярна наклонной SB.

Прямая ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и SB, лежащим в плоскости ASB, следовательно ВС перпендикулярна плоскости ASB. ВС лежит в плоскости SBС, значит, плоскости ASB и SBС перпендикулярны. Следовательно, расстоянием от точки А до плоскости SBС будет являться перпендикуляр АК (высота прямоугольного треугольника ∆ ASB).

Рассмотрим треугольник ∆ ASB. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой, т. е.

Найдем ВК и КS. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла, т. е.

16 = 5·BK

BK = 16/5

KS = BS – BK

KS = 5 – 16/5 = 9/5

Получим:

2 способ:

Рассмотрим пирамиду SABC с основанием ABC и высотой SA. Объем пирамиды SABC равен:

Объем пирамиды SABC можно найти другим способом, где основанием будет являться SBC и высотой АК:

Так как в основании пирамиды лежат прямоугольные треугольники, то их площади равна половине произведения катетов этих треугольников, имеем

Ответ: 12/5

Понравилось? Нажмите