Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Задание.

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что CD = BE = AL = 2.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Решение:

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

Так как пирамида МАВС – правильная пирамида, то высота пирамиды проходит через центр О основания. Точка О – является точкой пересечения медиан и высот равностороннего треугольника ∆АВС. Точка О делит медиану, проведенную из вершины А, в отношении 2 : 1. В треугольнике ∆АВС имеем АЕ : ЕВ = AD : DC = 4 : 2 = 2 : 1. Значит, отрезок DE содержит точку О.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Построим сечение плоскостью, проходящей через точки E, D и L, соединив их попарно. Искомое сечение DLE – равнобедренный треугольник. Прямая DE перпендикулярна LО и АО, поэтому искомый угол ∠α между плоскостями равен углу ∠AOL.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆АОМ. Опустим из точки L перпендикуляр LK на сторону АО, тогда

(1)

Из прямоугольного треугольника ∆ABN найдем AN:

AN² = AB² – BN²

AN² = 6² – 3² = 27

AN = 3√3

Из прямоугольного треугольника ∆AOM найдем MO:

MO² = AM² – AO²

MO² = 8² – (2√3)² = 52

MO= 2√13

Треугольники ∆ALK и ∆AMO – подобные треугольники, получим:

OK = AO – AK

Треугольники ∆ALK и ∆AMO – подобные треугольники, получим:

Подставим полученные данные в формулу (1), получим:

Ответ:  

 

Понравилось? Нажмите