Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС все ребра равны 6. Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.

Задание.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС все ребра равны 6.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.

б) Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.

Решение:

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.

Пусть точка M – середина ребра ВС, а точка N – середина ребра АВ, тогда MN – средняя линия треугольника ∆АВС. Значит, MN параллельна АС. Так как пирамида SABC правильная, то в основании лежит правильный треугольник ∆АВС, следовательно, BD – медиана и высота треугольника ∆АВС, т. е. BD перпендикулярна АС и BD перпендикулярна MN. Соединим последовательно точки B, D и S. Получим искомое сечение SBD, проходящее через вершину S и перпендикулярное отрезку, соединяющему середины ребер АВ и ВС.

б) Найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB.

Расстоянием от точки до плоскости называется перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости. Построим центр грани SAB, для этого найдем точку пересечения медиан треугольника ∆SAB. Так как треугольник ∆SAB правильный, то точка пересечения медиан F есть центр грани SAB.

Проведем FE параллельно MN. Так как MN перпендикулярна плоскости сечения SBD, то FE перпендикулярна плоскости сечения SBD. Следовательно, FE – расстояние от плоскости сечения SBD до центра грани SAB.

Так как точки M и N – середины ребер АВ и ВС, то MN – средняя линия треугольника ∆АВС.

MN = 1/2·АС

MN = 3

Так как BD – медиана и высота треугольника ∆АВС, то BP – медиана и высота треугольника ∆BMN. Следовательно, NP = MP = 1,5.

В правильной пирамиде апофемы  SN и SM равны, значит, треугольник ∆SMN – равнобедренный, SP – высота треугольника ∆SMN.

Точка F – точка пересечения медиан, следовательно,

Треугольник ∆SEF и ∆SPM – подобные треугольники, следовательно,

FE = 1.

Ответ: 1

Понравилось? Нажмите