Задание 14. Математика ЕГЭ. В правильной треугольной пирамиде SABC найдите расстояние от вершины А до плоскости α.

Задание.

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 60, а боковое ребро SA  равно 37. Точки M и N – середины ребер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN  и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α  делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости α.

Задание14в19_1

Решение:

а) Докажите, что плоскость α  делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C.

Так как точки M и N – середины ребер SA и SB, то MN  – средняя линия треугольника ∆ABS, то есть MN II AB.  AB лежит в плоскости (ABC), следовательно MN II (ABC), поэтому сечение (плоскость α) пересекает плоскость ABC по прямой PQ, параллельной MN. Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию MNQP.

Так как SABC – правильная пирамида, то точка О – центр основания пирамиды, СЕ – медиана треугольника ∆ABC. Медиана СЕ треугольника ∆ABC делится точкой О в отношении 2:1.

Задание14в7_2

Рассмотрим треугольник ∆ABS. SЕ – медиана треугольника ∆ABS. Точка К – точка пересечения плоскости MNQ и прямой MN, а также точка К – середина SЕ. Точка L – точка пересечения плоскости MNQ и прямой PQ.

Плоскость SCE пересекает плоскость MNQ по прямой KL. Плоскости SCE и MNQ перпендикулярны плоскости ABC. Следовательно, KL перпендикулярна плоскости основания ABC.

SO перпендикулярна плоскости основания ABC. Значит, KL II SO. Точка К – середина SЕ, тогда точка L – середина ЕО. KL – средняя линия треугольника ∆SOE.

Итак, получим

Задание14в7_3

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости α.

Расстоянием от точки до плоскости называется перпендикуляр, проведенный от этой  точки до данной плоскости. Так как плоскость MNQ перпендикулярна плоскости основания и MN II AB, то AB II PQ и АВ II плоскости MNQ. Так как CE перпендикулярна АВ, то СЕ перпендикулярна PQ. Тогда расстоянием между двумя параллельными прямыми AB и PQ является отрезок EL. Т. е. расстоянием от точки А до плоскости MNQ будет являться отрезок  EL.

Так как плоскость α  делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки C, то

Задание14в19_2

Из прямоугольного треугольника ∆CBE по теореме Пифагора найдем СЕ:

СЕ2 = ВС2 – ВЕ2

СЕ2 = 602 – 302 = 2700

СЕ = 30√3

Задание14в19_3

Ответ: 5√3

Понравилось? Нажмите

Оставить комментарий

Рубрики
Яндекс.Метрика