Задание 14. Математика ЕГЭ. Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 описана сфера. Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы.

Задание.

Вокруг куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 описана сфера. На ребре СС₁ взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В и М образует угол 15° с плоскостью АВС.

а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.

б) Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы.

Решение:

а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.

Сечение сферы плоскостью является окружностью. Пусть прямая ВМ вторично пересекает сферу в точке К. Искомая линия – описанная окружность около прямоугольного треугольника АВК.

б) Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы.

Точка К – точка пересечения прямой ВМ с описанной около квадрата ВВ₁С₁С окружностью. Так как ВС₁ – диаметр этой окружности, то угол ∠ВКС₁ = 90°, следовательно, треугольник ∆ ВКС₁ – прямоугольный, поэтому

BK = BC₁·cos∠МВС₁

Так как ∠МВС = 15°, то ∠МВС₁ = 45° — 15° = 30°

Из прямоугольного треугольника  ∆ ВСС₁ найдем ВС₁:

ВС₁² = ВС² + СС₁²

ВС₁² = 2² + 2² = 8

ВС₁= 2√2

Так как треугольник ∆АВК – прямоугольный, то длина описанной вокруг него окружности равна произведению ее диаметра на число π.

АК² = АВ² + ВК²

АК² = 2² + (√2)² = 4 + 6 = 10

АК = √10

Тогда длина линия пересечения плоскости АВМ и сферы равна π√10.

Ответ: π√10

Понравилось? Нажмите