Задание 15. Математика ЕГЭ. Решить неравенство

Задание.

Решите неравенство

Решение:

1) Найдем ОДЗ неравенства:

4^x + 81^x — 4·9^x + 3 > 0

4^x + (9^2x — 4·9^x + 3) > 0

4^x > 0 при любых значениях x.

Рассмотрим функцию y = 9^2x — 4·9^x + 3.

Найдем точки экстремума функции, для этого найдем производную функции:

Найдем значение функции y = 9^2x — 4·9^x + 3 в точке минимума x_min = log₉2:

Найдем значение выражения 4^x + (9^2x — 4·9^x + 3) при  x_min = log₉2:

Следовательно,

Поэтому ОДЗ неравенства:

4^x + 81^x — 4·9^x + 3 > 0 при любых значениях x.

2) Преобразуем исходное неравенство, получим

Так как основание логарифмического неравенства 2 > 1, то логарифмическое неравенство равносильно неравенству того же смысла:

4^x + 81^x – 4·9^x + 3 ≥ 2^2x

2^2x + 81^x – 4·9^x + 3 ≥ 2^2x

2^2x + 81^x – 4·9^x + 3 – 2^2x ≥ 0

81^x – 4·9^x + 3 ≥ 0

9^2x – 4·9^x + 3 ≥ 0

Введем новую переменную, пусть 9^x = a, a > 0, получим

a² – 4a + 3 ≥ 0

D = 4

a₁ = 1,  a₂ = 3

Получим: 0 < a ≤ 1;   a ≥ 3

Рассмотрим 0 < a ≤ 1, вернемся к первоначальной переменной:

Рассмотрим a ≥ 3, вернемся к первоначальной переменной:

Ответ:

Понравилось? Нажмите