Задание 15. Математика ЕГЭ. Решите неравенство 15^x – 9·5^x – 3^x + 9 ≤ 0

Задание.

Решите неравенство 15^x – 9·5^x – 3^x + 9 ≤ 0

Решение:

ОДЗ неравенства: все числа

Упростим неравенство:

(3·5)^x – 9·5^x – 3^x + 9 ≤ 0

3^x·5^x – 9·5^x – 3^x + 9 ≤ 0

Используя метод группировки, получим

(3^x·5^x – 3^x) – (9·5^x – 9) ≤ 0

3^x·(5^x – 1) – 9·(5^x – 1) ≤ 0

(5^x – 1)·(3^x – 9) ≤ 0

Решим неравенство методом интервалов:

(5^x – 1)·(3^x – 9) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

5^x – 1 = 0   и   3^x – 9 = 0

Решим уравнение:

5^x – 1 = 0

5^x = 1

5^x = 5⁰

x = 0

Решим уравнение:

3^x – 9 = 0

3^x = 9

3^x = 3²

x = 2

x ϵ [0; 2]

Ответ:  [0; 2]

Понравилось? Нажмите