Задание 15. Математика ЕГЭ. Решите неравенство

Задание.

Решите неравенство

Решение:

1)Найдем ОДЗ неравенства:

Неравенство 4x² + 1 > 0 верно при любых значениях переменной.

Решим неравенство 3x² + 4x + 1 > 0 методом интервалов

3x² + 4x + 1 = 0

D = 4

x₁ = — 1,    x₂ = — 1/3

x ϵ (- ∞; — 1); (- 1/3; + ∞)

Решим неравенство x² – 4x + 5 > 0 методом интервалов

x² – 4x + 5 = 0

D = — 4

Так как D < 0, то это означает, что график функции f(x) = x² – 4x + 5 не пересекает ось абсцисс.

Графиком функции f(x) = x² – 4x + 5 является парабола, ветви которой направлены вверх,

то неравенство x² – 4x + 5 > 0 верно при любых значениях переменной.

Решим неравенство x² – 4x + 5 ≠ 1

x² – 4x + 4 ≠ 0

D = 0

x ≠ 2

Объединяя все полученные решения, находим ОДЗ неравенства: x ϵ (- ∞; — 1); (- 1/3; 2); (2; + ∞).

2)Преобразуем неравенство

Для решения данного неравенства лучше всего воспользоваться методом рационализации. Этот метод позволяет перейти от неравенства, содержащего сложное логарифмическое выражение к равносильному ему более простому рациональному неравенству, т. е. log_h(x)f(x) – log_h(x)g(x) равносильно рациональному выражению (h(x) – 1)(f(x) – g(x)).

Получим:

(x² – 4x + 5 – 1)(4x² + 1 – 3x² – 4x – 1) ≤ 0

(x² – 4x + 4)(x² – 4x) ≤ 0

Решим неравенство методом интервалов:

(x² – 4x + 4)(x² – 4x) = 0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла, т. е.

x² – 4x + 4 = 0   или   x² – 4x = 0

Решим уравнение

x² – 4x + 4 = 0

D = 0

x = 2

Решим уравнение

x² – 4x = 0

x(x – 4) = 0

x₁ = 0,  x₂ = 4

Учитывая ОДЗ, получим

x ϵ [0; 2); (2; 4]

Ответ: [0; 2); (2; 4]

Понравилось? Нажмите