Задание 16. ЕГЭ. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника АВС отмечены точки M, N и К

Задание. На гипотенузе АВ и катетах ВС и АС прямоугольного треугольника АВС отмечены точки M, N и К соответственно, причем прямая параллельна прямой АВ и ВМ = ВN = 1/2КN. Точка Р – середина отрезка КN.

а) Докажите, что четырехугольник ВСРМ – равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если ВМ = 1 и ∠ВСМ = 150.

Решение:

а) Докажите, что четырехугольник ВСРМ – равнобедренная трапеция. (см. рисунок)

По условию прямая NК параллельна прямой АВ, т. е. РN параллельна ВМ.

Точка Р – середина отрезка КN, значит, РN = 1/2КN и по условию ВМ = ВN = 1/2КN, тогда четырехугольник ВNРМ – ромб. Следовательно, РМ параллельна ВN.

Точка Р – середина отрезка КN, тогда СР – медиана прямоугольного треугольника ΔКNС, проведенная из вершины прямого угла, тогда СР = 1/2КN = ВМ. Следовательно, ВСРМ – равнобедренная трапеция.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если ВМ = 1 и ∠ВСМ = 150.

(рис. 1)

Так как четырехугольник ВNРМ – ромб и СР = 1/2КN = ВN = ВМ = РМ, т. е. СР = РМ, то треугольник Δ СРМ – равнобедренный и угол ∠1 = ∠2 (см. рисунок 1).

Прямая РМ параллельна ВС, СМ – секущая, тогда накрест лежащие углы равны, т. е. ∠2 = ∠3.

Следовательно, ∠1 = ∠3 и СМ – биссектриса угла ∠ВСР.

По условию ∠3 = ∠ВСМ = 150, значит, ∠ВСР = 300.

Так как ВСРМ – равнобедренная трапеция, то ∠ВСР = ∠МВС (см. рисунок 2).

(рис. 2)

Прямая МВ параллельна КN, ВС – секущая, тогда соответственные углы равны,

т.е. ∠КNС = ∠МВС = ∠ВСР = 300.

Из прямоугольного треугольника ΔКNС:

ВМ = 1/2КN

КN = 2BM = 2

ВN = ВМ = 1

BC = CN + BN = √3 + 1

Из прямоугольного треугольника АВС:

Следовательно,

Ответ:

Понравилось? Нажмите
Рубрики
Яндекс.Метрика