Задание 16. ЕГЭ. Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

Задание. Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так,

что АК = 13, КL = 6, LВ = 1.

Решение:

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

Если хорды в окружности равны, то они равноудалены от центра окружности.

Это можно доказать, рассмотрев, например, треугольники ΔOKL и ΔОMN:

MN = KL, OL = OM = R, OK = ON = R.

Следовательно, ΔOKL = ΔОMN, а, значит, высоты этих треугольников также будут равны. Аналогично доказывается и с другими хордами.

Т. е. расстояние от центра окружности до всех хорд, а также до сторон трапеции будет одинаково.

Точка О лежит внутри угла ∠BAD и равноудалена от сторон этого угла, значит, по теореме о биссектрисе угла, точка О лежит на биссектрисе АО угла ∠BAD. Получим, ∠1 = ∠2.

Аналогично, ОВ, ОС и ОD – биссектрисы углов трапеции. Получим, что точка О лежит на каждой из четырех биссектрис, значит, и все биссектрисы трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках К и L так, что АК = 13, КL = 6, LВ = 1.

Так как ВС параллельна AD, OE ⊥ BC, OH ⊥ AD, то точки Е, О и Н лежат на одной прямой и ЕН – высота трапеции.

Хорды окружности равны, значит, KF = FL = TE =MH = 3.

Прямоугольные треугольники ΔAFO и ΔAHO равны по гипотенузе и острому углу, тогда AF = AH = 16.

Прямоугольные треугольники ΔBFO и ΔBEO равны по гипотенузе и острому углу, тогда BF = BE = 4.

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABEH, в которой АВ = 20, BE = 4, AH = 16.

Опустим перпендикуляр ВР, ВР = ЕН, ВЕ = РН = 4 и АР= АН – РН = 12.

Из прямоугольного треугольника ΔАВР по теореме Пифагора найдем ВР:

ВР² = АВ² – АР²

ВР² = 20² – 12² = 400 – 144 = 256

ВР = 16

Ответ: 16

Понравилось? Нажмите